2020/06/13日記【ビリヤード問題】

剛体力学の続きで、ビリヤード問題と勝手に呼んでいるやつをやった。

摩擦のある平面に球をおき、そこに撃力を加えて滑るか回転するかを議論する問題。想像以上に苦戦したので、その苦戦ポイントをまとめておく。

・角運動量の方程式－－－撃力の力積の扱い方がわからなかった。力×時間の次元で一塊になっているので、今までと全く同じように力×距離の次元で立式することはできない。普段の角運動量の方程式の両辺を時間で積分したものを使う。左辺は慣性モーメントは時間によらないので積分の外に出るので、dω/dt がωになるだけ。そして右辺は力積×距離にすればよい。これで立式できる。

・運動量保存則ーーー球に撃力を加えた瞬間、球が滑るか回転するかわかっていない段階で、果たして運動量保存則が成り立つのかどうかという問題。答えは成り立つ。撃力の力積=質量×重心速度としてよい。エネルギー保存則みたいに回転に運動量を持ってかれないのかが心配になったが、角運動量には角運動量保存則が存在し、つまり角運動量が外部から与えられたり外部に奪われたりしない限り角運動量は変化しないのだから、撃力を加えた瞬間は、その力積はすべて運動量変化に使われると考えられるということだった。もちろん時間が経てば摩擦力が働いてきて、角運動量を持つことになる。

・球の滑らない条件ーーーこれまでの問題では滑らない条件と言えば最大静止摩擦力が斜面方向の力よりも大きい、といったものだったが今回の条件は、v=aω が成立することだった。これまでの問題との明確な違いを見いだせていないが、ビリヤード問題は初期状態で並進速度を持つというのが関わっているのかもしれない。静止摩擦力は関係ないので、静止摩擦係数が与えられなくても問題は解けるようになっている。

ビリヤード問題はこの点に注意しておけば大丈夫だろう。

あとは統計力学をやったが、状態密度の件だった。頑張って運動量空間・波数空間で解くようにしたので、それで解答を書けるようになったのは成長だと思う。ただやっぱり整数の空間に持って行った方が「格子点」というワードを使えるからﾓﾆｮﾓﾆｮ。

明日はちょっと勉強はお休みしてもいいかなと思う。やるべきことを明確化し、今後のスケジュールを立てる一日にしたい。