2020/08/25日記【正準変換、比熱、時間依存する波動関数】

院試2日前。

昨日の目標通り、大問9個を解くことができた。直近の年を解いたのだがこっちの方が難しいというかひねった問題が多くて、初見の時はかなり苦戦した。さすがに2回目ともなると解法を知っているので、友人との議論で結論が出たも問題に関しては前回よりも素早く解くことができた。

今日もノートにまとめた話だけ。

力学は正準変換の式がうろ覚え（覚えてはいた）だったので改めてノートにまとめておいた。ここら辺の話題を出題するのはうちの指導教員しかいないと思うので、出題確率は低いものの、今度自分の研究に絡んでくるのは確かなのでやってて損はないと思ってやった。学部3年のときにテスト対策で作ったメモがいまだに役に立つ。我ながらよくできていると思う。両端に－、旧座標は＋、新座標は－などここに書いただけではなんのこっちゃだが、この呪文を覚えておけば早見表をすぐ書けるのでどのタイプの正準変換が出てきても大丈夫。本番まで覚えておいてくれ……。

電磁気はメモなし。初回やった時に計算が複雑すぎて挫折した、電流の横の別軸周りを回るコイルに生じる起電力を求める問題が最後まで解くことができたのが嬉しかった。いかにめんどくさい計算を後回しにするか、つまり早い段階で文字に置いて最後の最後まで文字のまま計算を進めるというところで差がついたか。計算は後回し。徹底したい。

統計は系の分配関数のケアレスミスに気を付ける話と、調和振動子のアインシュタイン模型での比熱について。分配関数は、今やってる問題が何次元なのか気にしようねというだけ。それぐらいは間違えないでほしい。比熱に関しては、古典論と量子論で低温での比熱の振る舞いが異なるのだがその理由を答える問題で書くべきことは何なのかということをまとめておいた。温度が低いとエネルギーが離散的であるという量子論的効果が無視できなくなるのだが、ではなぜ無視できなくなるのかというところまで解答に書かないと論拠としては不十分だと思う。この理由は、温度が低いと系の大まかなエネルギーkTがエネルギーの間隔ℏωよりも小さくなってしまい熱励起することが非常に難しくなるから。逆に高温では熱励起のエネルギーが大きくなってエネルギーの離散性は問題じゃなくなるので古典論と量子論が一致する。ここの話をよく理解していなかったので今日ちゃんと復習できてよかった。熱励起のエネルギーというのがキーワードになっているので、このことに触れた解答を書くようにしたい。

量子は時間依存する波動関数の表式と、確率の流れの密度を書いておいた。後者はともかく、前者は書けないと大問全滅の可能性もありうるのでいい加減覚えておかないとヤバい。定常状態の波動関数に、exp[-iE_nt/ℏ] をかけたものが時間依存する波動関数になる。指数の中は－！マイナスだからな！！！マイナス！！！！今度間違えたら許さねえ……。

今日は目標通り行けたのにもかかわらず、まさかのもう1年分解いた過去問が発掘されてしまったので残りは大問11個ということになってしまった。これは厳しい……。今日発掘された奴は諦めて、まだ解いてない年のやつを時間を計って解こうと思う。院試前日なので負荷を緩めておきたい。腱鞘炎になりそうだし。

明日は洗濯。忘れないで早起きしたい。